Большая Энциклопедия Нефти и Газа. Гиперболическая камера


Microsoft превращает камеру в датчик глубины

На проходящей в Ванкувере конференции по компьютерной графике SIGGRAPH группа исследователей из Microsoft Research представила оригинальный способ превратить простую веб-камеру или камеру смартфона в датчик глубины, аналогичный по функциональности сенсору Kinect.

Схожий проект Google Tango поднял функциональность гаджетов на новый уровень и сильно укрепил позиции компании на мобильном рынке. С помощью смартфона буквально за одну-две минуты стала возможна трёхмерная оцифровка любых объектов и даже сканирование помещений. Теперь и в Microsoft нашли способ научить обычные камеры работать в 3D.

Модифицированная Microsoft LifeCam работает как датчик глубины (фото: Sean Fanello).

В современных камерах используются CMOS-матрицы пяти разных типов, но при этом все они чувствительны к ближнему инфракрасному свету. Поэтому в них обычно установлен ИК-фильтр, уменьшающий засветку.

Контроллер Microsoft Kinect лишён такого фильтра, поскольку использует ИК-подсветку для определения границ объектов. Их стереоскопическую проекцию и точность распознавания движений обеспечивает пара сенсоров, но в более простых задачах можно обойтись и одним.

Для демонстрации концепции группа во главе с Шоном Райаном Фанелло (Sean Ryan Fanello) внесла изменения в конструкцию Microsoft LifeCam. Вокруг объектива было установлено внешнее кольцо с ИК-светодиодами, встроенный инфракрасный фильтр удалён, а вместо него установлен другой – блокирующий свет в видимой части спектра.

Превращение камеры смартфона в 3D-сканер (фото: research.microsoft.com).

В результате проделанных манипуляций камера обзавелась подсветкой, но стала работать только в ИК-диапазоне. Как видите, аппаратная модификация для этого потребовалась довольно простая. Главный же секрет работы кроется в алгоритмах машинного обучения.

Бета-версия мобильного приложения интерпретирует данные от модифицированной камеры на лету, отрисовывая трёхмерную модель объекта перед ней и фиксируя все его движения.

Разработчики поясняют, что для определения расстояния используется изменение интенсивности отражённого света и других физических величин. Сама отражающая способность поверхностей остаётся неизменной, но эффективность подсветки падает с увеличением дистанции. Поэтому по мере движения объекта меняется не только его угловой размер но и общая яркость.

Распознавание движений со скоростью 220 FPS (фото: Microsoft).

Упрощённо говоря, объекты выглядят более яркими когда находятся ближе к массиву ИК-светодиодов и тускнеют по мере удаления от них. Помимо веб-камеры для тестов использовался смартфон Samsung Galaxy Nexus. Технологии машинного обучения задействовали для того, чтобы научить программу отличать маленькую руку вблизи от большой руки на удалении.

Пока демонстрационный экземпляр не может похвастаться «всеядностью» из-за узкого спектра и единственного сенсора. Он хорошо оцифровывает поднесённую руку, распознаёт лица и реагирует на мимику, но программа сбивается при анализе разных предметов. Происходит это из-за их разной отражающей способности (альбедо) и температуры.

Предполагается, что новые смартфоны и прочие мобильные устройства будут оснащаться парой камер, как минимум одна из которых сможет выполнять функции датчика глубины.

Жестовое управление на примере игры Fruit Ninja (фото: Microsoft).

Ключевая идея группы Райана состоит в том, чтобы обеспечить всем заинтересованным людям более простой способ оцифровки в объёме и разработки 3D-приложений. Вместо установки пары дорогостоящих специализированных сенсоров такая простая конструкция снизит затраты на изготовление бюджетных версий смартфонов и других гаджетов с поддержкой трёхмерной оцифровки.

Сейчас прототип способен измерять движения человека со скоростью 220 кадров в секунду. На конференции было продемонстрировано, что такого быстродействия достаточно для бесконтактного (жестового) управления смартфоном. Набирать текст в воздухе так пока не получится. Однако такие действия, как приём звонка, масштабирование и перелистывание страниц, навигация по карте и даже игра во Fruit Ninja происходят примерно с той же точностью, что и при касании экрана.

www.computerra.ru

Гиперболическая плоскость - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Гиперболическая плоскость

Cтраница 1

Гиперболическая плоскость, обозначаемая через Я2, открытая Лобачевским и Бойяи в 1828 г. - это геометрия, в которой аксиома параллельных неверна. Обычно ее представляют как внутренность круга на плоскости.  [1]

Гиперболической плоскостью называется двумерное пространство L с невырожденным симметричным скалярным произведением (), имеющее ненулевой изотропный вектор.  [2]

Тогда гиперболическая плоскость Н в Я3, опирающаяся на dU, пересекает свой образу 1 ( Я), g fyf - 1t по некоторой геодезической 3, которая является поднятием геодезической р1 на универсальную накрывающую Мр поверхности S.  [3]

Отображение гиперболической плоскости на евклидовом ( бельтрамиевом) круге выполнено совершенно безукоризненно; двумерная гиперболическая геометрия осуществляется здесь полностью. Совершенно аналогично выполняется отображение гиперболического пространства внутри евклидовой сферы. Всякое противоречие в гиперболической геометрии, если бы оно обнаружилось, означало бы, что аналогичное противоречие имеется и в геометрии Евклида, Поэтому гиперболическая геометрия логически столь же правильна, столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида.  [4]

Прямая гиперболической плоскости выражается в бельтрамиевых координатах линейным уравнением. Но линейным же уравнением в тех же координатах X, У на евклидовой плоскости также выражается прямая на нашем круге - его хорда. Прямые гиперболической плоскости изображаются на карте хордами граничного круга; концы хорд отвечают бесконечно удаленным точкам гиперболической прямой. Теперь пусть аЪ будет какая-либо хорда граничного круга, АВ - соответствующая прямая на гиперболической плоскости, с - точка вне этой прямой, С - соответствующая точка гиперболической плоскости.  [5]

Для случая гиперболической плоскости такое перечисление невозможно. Причина этого кроется в некоторой неопределенности той связи, которая существует между углами прямолинейной фигуры в геометрии Лобачевского.  [6]

Для определения гиперболической плоскости Кроув предложил систему аксиом, которая обеспечивает отсутствие трактов на плоскости.  [7]

Так как любая иэометрия гиперболической плоскости является произведением не более чем трех отражений, то подгруппа сохраняющих ориентацию изометрий состоит из произведений пар отражений. Обратно, легко показать непосредственно, что любое такое преобразование является произведением двух отражений, или же прямым вычислением проверить, что любое такое преобразование является изометрией гиперболической плоскости. Заметим, что преобразование пополненной комплексной плоскости CU вида гн - ( аг b) / ( cz d), где а, Ь, с, d s С и ad - be О, называется преобразованием Мебиуса. Отсюда следует, что подгруппу сохраняющих ориентацию изометрий Я2 можно отождествить с группой PSL ( 2, R), определяемой как факторгруппа группы SL ( 2, R) по центральной подгруппе порядка два. Группа PSL ( 2, R) является подгруппой группы PSL ( 2, С) всех преобразований Мебиуса плоскости С, и это позволяет дать другую удобную модель, или карту, гиперболической плоскости.  [8]

Сантало [74] вывел, в гиперболической плоскости, несколько типичных для интегральной геометрии формул.  [9]

Если рассмотреть две любые точки гиперболической плоскости Я2, то в Я2 существует единственная геодезическая описанного типа, которая проходит через обе эти точки. Предположим теперь, что в Я2 существует какая-нибудь геодезическая / другого типа. Можно найти две такие точки Р и Q на /, что отрезок кривой / между Р и Q короче ( возможно, не строго) любого другого пути от Р до Q. Существует также геодезическая т, проходящая через точки Р и Q и являющаяся вертикальной прямой или полуокружностью; применяя, если нужно, отражение гиперболической плоскости, можно считать, что т является вертикальной прямой. Но, как мы показали ранее, отрезок прямой т, заключенный между точками Р и Q, строго короче, чем любой другой путь от Р до Q. Это противоречит тому, что отрезок кривой / между Р и Q короче любого другого пути, соединяющего Р с Q. Как и в Е2, любая пара точек в Я2 лежит на единственной геодезической и две различные геодезические пересекаются не более чем в одной точке.  [10]

Таким образом, наше отображение гиперболической плоскости не искажает углы. Эти замечания объясняют также, почему инверсия эвклидовой плоскости сохраняет величины углов, но меняет их знак.  [12]

Но это есть модель Пуанкаре обыкновенной вещественной гиперболической плоскости.  [13]

Универсальное накрывающее пространство для Rh есть гиперболическая плоскость Н с расстоянием Ь ( х, у), которую мы будем рассматривать как внутреннюю область единичной окружности С евклидовой плоскости с таким расстоянием е ( х, у), что гиперболические прямые оказываются евклидовыми дугами, ортогональными С. Евклидов центр pv окружности С является гиперболическим центром фундаментального множества H ( pi) с замыканием FF ( pj), граница которого F ( pi) - H ( p есть правильный 4 -угольиик в гиперболическом смысле.  [14]

Это определение обобщает тот факт для гиперболической плоскости Я2 ( дающийся теоремой Феншеля - Нильсена о пересечении осей ( ср. G имеют пересекающиеся оси, если и только если оси элементов f ( g) и ср ( h) пересекаются.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Гиперболические функции - Справочник химика 21

    Распространение на поверхности воды. Масла, пролитые на поверхностные воды, сначала образуют так называемые разводы, а затем пленки. Эти пленки эмульгируются, подвергаются биологическому разложению и могут оседать после окисления. Скорость распространения масла на поверхности воды вычисляют по гиперболической функции [c.229]

    Для тела любой формы, имеющего средний размер, равный г,-можно принять /дс=У 1(1/г) см 1, где — коэффициент при =1/с мы приходим к выражению (Х.Ю). Фактор дисперсности /дс —величина обратно пропорциональная размеру тела г — гиперболическая функция. При увеличении размера частиц в пределах от до г (рис. 49) дисперсность резко падает, но, достигнув величины при дальнейшем увеличении размера частиц практически перестает изменяться. Понятно, что свойства, которые так или иначе зависят от величины поверхности твердого тела, например летучесть, растворимость, прочность и многие другие, резко изменяются в указанных пределах, но практически постоянны при условии г > г . Отсюда следует важный [c.150]

    При Лз получаются формулы, аналогичные (10.38)—(10.44), только вместо гиперболических функций в них входят тригонометрические функции, а вместо везде будет фигурировать —Ля (в этом случае тоже положительная величина). Интегрирование уравнения (10.37) дает для 2-об разной формы  [c.297]

    Показательные и гиперболические функции [c.96]

    По таблицам гиперболических функций находим 2а 1,44 и значение а, при котором а р максимально, а = 0,72, Получим [c.698]

    Гиперболическая функция аналог уравнения Михаэлиса— Ментен (модель 6, табл. УМ) и уравнение реакции 2-го порядка (модели 7 и 8, табл. VI-1) неудовлетворительно описывают конечные участки экспериментальных кривых БПК. [c.149]

    П ри вычислении гиперболических функций возможна ошибка до единицы четвертого разряда X К 20,723 [c.433]

    Первое уравнение (с .1) имеет решение для Л в виде тригонометрических функций и обычных функций Бесселя, а уравнение второе (с Я,) — в виде гиперболических функций и функций Бесселя второго рода. [c.334]

    Аргумент и значения гиперболических функций в формуле (6.34) (СКЗ подключена в середине трубопровода) [c.209]

    Мы приняли (см. гл. I), что индивидуальное твердое соединение состоит из твердых тел одного и того же состава, строения и молекулярной массы, а ряд твердых тел одного и того же строения и состава, но разных молекулярных масс, представляет собой гомологический ряд твердых соединений. Для тел, имеющих форму шара или куба, с диаметром или ребром, равным а, их удельная поверхность 5 является гиперболической функцией размера а. Мы отмечали, что многие свойства твердых веществ определяются величиной их удельной поверхности. Например, химическая активность связана с концентрацией функциональных групп, вносимых твердым веществом в систему реагирующих с ним веществ, последняя же пропорциональна величине 5 и, следовательно, обратно пропорциональна размерам частиц твердого тела а, если оно [c.185]

    Приложение 2. Гиперболические функции и некоторые их свойства [c.393]

    Используя гиперболические функции , можно упростить запись  [c.181]

    Используя гиперболические функции, можно упростить уравнение Пуассона — Больцмана для плоского слоя, записав его в виде [c.219]

    Напомним основные гиперболические функции синус sh( ) = (a —е )/2  [c.219]

    Переходя в (10.58) к гиперболическим функциям, получаем [c.272]

    На рис. 24.5 показаны примерные графики экспоненциальных и гиперболических функций, имеющихся в соответствующих математических справочниках и таблицах [13]. [c.457]

    Для простой расшифровки формул (24.91), (24.93) и (24.96) можно воспользоваться разложением гиперболических функций в ряд. Поскольку при сравнительно хорошем качестве изоляции трубопроводов аргументы гиперболических функций не превышают единицы, можно с достаточной точностью принять зЫу—у, h /=l-fi/V2 и у=у. В таком случае выражения (24.96) и (24.91) принимают вид [c.468]

    Приложение 3 Показательные и гиперболические функции [c.135]

    Заменяя гиперболические функции тригонометрическими, после преобразований получим характеристическое уравнение [c.158]

    Применив к уравнению (13.104) известное соотношение для гиперболических функций, приведем уравнения (П-Ш. 37) к виду [c.607]

    Далее используем гиперболические функции - синус, косинус, тангенс, соответственно [c.140]

    При наложении токов высокой частоты на электрическую сеть входящие в нее линии электропередач часто приходится рассматривать как линии с распределенными параметрами. Выражение для входных сопротивлений таких линий содержит гиперболические функции, что усложняет как математическую модель, так и установление достаточно простых соотношений между параметрами сети, наложенными токами и расстояниями до места повреждения. [c.83]

    Добавлены новые главы Математическое моделирование химической кинетики, Определители и матрицы. Линейное программирование, Гиперболические функции. Эллиптические интегралы и функции. Эти главы также содержат типичные примеры из химии и химической технологии. [c.3]

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [c.402]

    В методе гиперболических функций (НМР — метод Банкера) делается попытка функционального описания "контурной карты" потенциала. Путь реакции А+ВС АВ+С изображается прямоугольной гиперболой [14] [c.54]

    Передаточную функцию (10.70) прн (5) = 2в.я (з) и замене гиперболических функций эиспоненциальныии можно привести и виду [c.274]

    Для получения хроматограмм подвижная фаза должна двигаться вдоль пластины по нетюдвижной фазе. Для этого пластину помещают в закрытую камеру (рнс. 5.3-20). Камера насыщается подвижной фазой. Следует быть осторожным, чтобы пятно пробы не опускалось в растворитель. Растворитель за счет капиллярньк сил поднимается по пластине, правда, с неодинаковой скоростью. Скорость миграции фронта растворителя является убывающей гиперболической функцией от длины пути. [c.293]

chem21.info

VRayPhysicalCamera

Basic parameters (Основные параметры)

Type - Тип - определяет тип камеры. Главным образом это имеет влияние на эффект смазывания при движении (motion blur):

 

Still camera - Неподвижная камера - имитирует неподвижную фотокамеру с обычным затвором.

 

Cinematic camera - Кинокамера - имитирует кинокамеру с кольцевым затвором.

 

Video camera - Видеокамера - имитирует беззатворную видеокамеру с CCD-матрицей.

 

Targeted - С целевым объектом - определяет имеет ли камера объект-цель в сцене 3ds Max или не имеет.

 

Film gate - Кадровое окно - задает горизонтальный размер кадрового окна в миллиметрах. Заметим, что данный параметр принимает во внимание конфигурацию системных единиц для получения корректного результата. Вертикальный размер кадрового окна вычисляется пропорционально соотношениею сторон изображения (верт. размер кадра = гориз. размер кадра / соотношение сторон).

 

Focal length - Фокусное расстояние - задает фокусное расстояние объектива камеры. Этот параметр принимает во внимание конфигурацию системных единиц для получения корректного результата.

 

fov - Поле зрения камеры - когда эта опция включена, мы можем установить поле зрения камеры (field of view) непосредственно, без настройки параметров film gate и focal length.

 

Zoom factor - Коэффициент увеличения - задает коэффициент увеличения. Значения больше 1.0 увеличивают изображение, значения меньше 1.0 - уменьшают. Это похоже на визуализацию изображения в режиме blow-up.

 

Horizontal offset - Горизонтальне смещение - параметр смещает поле зрения камеры горизонтально на часть текущего вида. Например, значение 0.5 будет сдвигать камеру на половину текущего изображения влево.

 

Vertical offset - Вертикальное смещение - параметр смещает поле зрения камеры вертикально на часть текущего вида. Например, значение 0.5 будет сдвигать камеру на половину текущего изображения вверх.

 

Target distance - Расстояние до цели - расстояние до целевого объекта камеры (для камер с целевым объектом).

 

f-number - Диафрагма - определяет ширину апертуры камеры и, косвенно, экспозицию. Если включена опция Exposure, изменение f-number будет влиять на яркость изображения.

 

Distortion - Искажение - задает коэффициент искажения для объектива камеры. Значение 0.0означает отсутствие искажений; положительные значения дают искажения типа "бочка", отрицательные - типа "подушка".

 

Distortion type - Тип искажения - определяет формулу по которой вычисляются искажения, если параметр Distortion отличен от нуля:

Quadratic - Квадратичный - тип искажения по умолчанию. Он использует упрощенную формулу, которая проще для вычислений, чем метод Cubic.

Cubic - Кубический - тип искажений, который используется в некоторых программах трекинга камеры (например SynthEyes, Boujou и т.д.). Если вы планируете использовать одну из этих программ, вы должны использовать тип искажений Cubic.

 

Vertical shift и Horisontal shift - Вертикальный и горизонтальный сдвиг - позволяет имитировать сдвиг линз для двухточечной перспективы. Изменение этого параметра аналогично применению модификатора Camera correction. Используйте кнопки Guess vert. и Guess horiz. для достижения эффекта двухточечной перспективы.

 

Specify focus - Заданный фокус - позволяет указать фокусное рассояние, отличное от расстояния до цели (целевого объекта) камеры.

 

Exposure - Экспозиция - когда эта опция включена, параметры диафрагмы (f-number), скорости затвора ( Shutter speed) и ISO будут влиять на яркость изображения.

 

Vignetting- Виньетирование - когда опция включена, имитируется эффект оптического виньетирования реальных камер. Вы также можете указать силу эффекта виньетирования: 0.0 - виньетирование отсутствует, 1.0 - нормальное виньетирование.

 

White balance - Баланс белого - позволяет дополнительно изменять вывод изображения. Объекты в сцене, которые имеют указанный цвет, на изображении будут появляться белыми. Заметим, что принимается во внимание только тон (hue) цвета, а яркость игнорируется. Имеется несколько предварительных настроек, которые могут быть использованы, особенно настройка Daylight для экстерьеров.

 

Shutter speed - Выдержка - скорость затвора в 1/сек для неподвижной фотокамеры. Например, выдержка 1/30 соответствует значению этого параметра 30.

 

Shutter angle - Угол затвора - угол затвора (в градусах) для кинокамеры.

 

Shutter offset - Смещение затвора - смещение затвора (в градусах) для кинокамеры.

 

Latency - Задержка - задержка CCD-матрицы в секундах; для видеокамеры.

 

Film speed (ISO) - Чувствительность пленки - определяет чувствительность пленки. Меньшие значения затемняют изображение, большие - осветляют.

Bokeh effects (Эффекты боке)

Эти параметры управляют эффектами боке при включенной опции Depth-of-field.

 

Blades - Лепестки - определяет форму апертуры камеры. Когда опция выключена, имитируется идеально круглая апертура. Когда опция включена, имитируется полигональная апертура с указанным количеством лепестков.

 

Rotation - Поворот - определяет поворот лепестков.

 

Center bias - Смещение центра - определяет смещение формы для эффектов боке. Положительные значения делают внешние грани эффектов боке светлее; отрицательные значения делают светлее центр эффекта.

 

Anisotropy - Анизотропия - позволяет растягивать эффект боке горизонтально или вертикально для имитации анаморфотных объективов.

Sampling parameters (Параметры сэмплирования)

Эти параметры управляют сэмплированием для виртуальной камеры.

 

Depth-of-field - Глубина резкости - включает просчет глубины резкости (DOF).

 

Motion blur - Смазывание при движении - включает просчет эффекта смазывания изображения при движении камеры или объекта.

 

Subdivs - Подразбиения - определяет количество сэмплов (лучей) для просчета эффектов глубины резкости и/или смазывания изображения при движении.

Miscellaneous parameters (Другие параметры)

Эти параметры управляют различными свойствами камеры.

 

Horizon line - включает или выключает отображение во вьюпорте линии горизонта камеры.

 

Clipping - Отсечение - включает и выключает отсечение камеры.

 

Near/far clipping range - Ближняя/дальняя граница отсечения - параметры определяют ближнюю/дальнюю границы отсечения при включенной опции Clipping.

 

Near/Far environment range - Ближняя/дальняя граница окружения - параметры определяют ближнюю/дальнюю границы окружения (используется некоторыми атмосферными эффектами в 3ds Max).

Перевод © Black Sphinx, 2008-2011. All rights reserved.

vraydoc.narod.ru

Основы стереозрения / Хабр

В данной статье содержатся базовые сведения о математическом аппарате, используемом в стерео зрении. Идея ее написания появилась после того как я начал работать с методами стерео зрения, в частности использовать алгоритмы реализованные в OpenCV. Эти алгоритмы зачастую ссылаются на различные понятия, такие как "фундаментальная матрица", "эпиполярная геометрия", "триангуляция". Существуют очень хорошие книжки по компьютерному зрению, в которых описывается, в том числе и стерео зрение и все необходимые понятия, но в них, нередко, бывает представлено слишком много информации для новичка. Здесь же, в краткой форме изложены базовые сведения о том, как работает стерео зрение и основные связанные с ним необходимые понятия:
  • проективная геометрия и однородные координаты
  • модель камеры
  • эпиполярная геометрия (epiporal geomerty), фундаментальная и существенная матрицы (fundamental matrix, essential matrix)
  • триангуляция стереопары точек
  • карта глубины(depth map), карта смещений(disparity map) и идея, лежащая в основе ее вычисления
Практически весь материал статьи основан на книге "Multiple View Geometry in Computer Vision" by Hartley, R. I. and Zisserman, A., а раздел про построение карты глубины описан на основе материала из "Learning OpenCV" by Gary Bradski, Adrian Kaehler.

Для понимания содержимого статьи достаточно иметь общее представление об аналитической геометрии и линейной алгебре: знать, что такое матрица, вектор, скалярное и векторное произведение.

В геометрии стерео зрения значительную роль играет проективная геометрия. К проективной геометрии есть несколько подходов: геометрический (подобно Евклидовой геометрии ввести понятие геометрических объектов, аксиом и из этого выводить все свойства проективного пространства), аналитический (рассматривать все в координатах, как в аналитическом подходе к Евклидовой геометрии), алгебраический.

Для дальнейшего изложения в основном понадобиться понимание аналитического подхода к проективной геометрии, и именно он и изложен ниже.

Точки проективной плоскости. Рассмотрим двухмерное проективное пространство (которое еще называется проективной плоскостью). В то время как на обычной Евклидовой плоскости точки описываются парой координат (x,y)T, на проективной плоскости точки описываются трехкомпонентным вектором (x,y,w)T. При этом для любого ненулевого числа a, векторы (x,y,w)T и (ax, ay, aw)T соответствуют одной и той же точке. А нулевой вектор (0,0,0)T не соответствует никакой точке и выкидывается из рассмотрения. Такое описание точек плоскости называется однородными координатами (homogeneous coordinates).

Точкам проективной плоскости можно сопоставить точки обычной Евклидовой плоскости. Координатному вектору (x,y,w)T при w ≠ 0 сопоставим точку Евклидовой плоскости с координатами (x/w, y/w)T. Если же w = 0, т.е. координатный вектор имеет вид (x, y, 0T), то будем говорить, что эта точка в бесконечности. Таким образом, проективную плоскость можно рассматривать как Евклидовую плоскость, дополненную точками из бесконечности.

Перейти от однородных координат (x, y, w)T к обычным Евклидовым можно путем деления координатного вектора на последнюю компоненту и последующего ее отбрасывания (x,y,w)T → (x/w,y/w)T. А от Евклидовых координат (x,y)T перейти к однородным можно за счет дополнения координатного вектора единичкой: (x,y)T → (x,y,1)T

Прямые на проективной плоскости. Любая прямая на проективной плоскости описывается, подобно точке, трехкомпонентным вектором l = (a,b,c)T. Опять же вектор, описывающий прямую, определен с точностью до ненулевого множителя. При этом уравнение прямой будет иметь вид: lTx = 0.

В случае, когда a2 + b2 ≠ 0 мы имеем аналог обычной прямой ax + by + c = 0. А вектор (0,0,w) соответствует прямой лежащей в бесконечности.

Трехмерное проективное пространство. По аналогии с проективной плоскостью, точки трехмерного проективного пространства определяются четырехкомпонентным вектором однородных координат (x,y,z,w)T. Опять же для любого ненулевого числа a, координатные вектора (x,y,z,w)T и (ax,ay,az,aw)T соответствуют одной и той же точке.

Как в случае проективной плоскости, между точками трехмерного Евклидова пространства и трехмерного проективного пространства можно установить соответствие. Вектору однородных координат (x,y,z,w)T при w ≠ 0 соответствует точка Евклодова пространства с координатами (x/w,y/w,z/w)T. А про точку с вектором однородных координат вида (x,y,z,0)T говорят, что она лежит в бесконечности.

Проективное преобразование. Еще одна вещь, которая потребуется для дальнейшего изложения — это проективные преобразования (homography, projective transformation — в англ. литературе). С геометрической точки зрения, проективное преобразование — это обратимое преобразование проективной плоскости (или пространства), которое переводит прямые в прямые. В координатах, проективное преобразование выражается в виде невырожденной квадратной матрицы H, при этом координатный вектор x переходит в координатный вектор x' по следующей формуле: x' = H x.

Рисунок 1: Модель камеры. C — центр камеры, Cp — главная ось камеры. Точка X трехмерного пространства проецируется в точку x — на плоскости изображения. Современные CCD-камеры хорошо описываются с помощью следующей модели, называемой проективной камерой (projective camera, pinhole camera). Проективная камера определяется центром камеры, главной осью — лучом начинающимся в центре камеры и направленным туда, куда камера смотрит, плоскостью изображения — плоскостью на которую выполняется проецирование точек, и системой координат на этой плоскости. В такой модели, произвольная точка пространства X проецируется на плоскость изображения в точку x лежащую на отрезке CX, который соединяет центр камеры C с исходной точкой X (см. рис. 1).

Формула проецирования имеет простую математическую запись в однородных координатах:

где X — однородные координаты точки пространства, x — однородные координаты точки плоскости, P — матрица камеры размера 3 × 4.

Матрица P выражается следующим образом P = KR[ I | -c] = K[R|t], где K — верхняя треугольная матрица внутренних параметров камеры размера 3 × 3 (конкретный вид приведен ниже), R — ортогональная матрица размера 3 × 3, определяющая поворот камеры относительно глобальной системы координат, I — единичная матрица размера 3 × 3, вектор c — координаты центра камеры, а t = −Rc.

Стоит отметить, что матрица камеры определена с точностью до постоянного ненулевого множителя, который не изменит результатов проецирования точек по формуле x = P X. Однако этот постоянный множитель обычно выбирается так, что бы матрица камеры имела вышеописанный вид.

В самом простейшем случае, когда центр камеры лежит в начале координат, главная ось камеры сонаправлена оси Cz, оси координат на плоскости камеры имеют одинаковый масштаб (что эквивалентно квадратным пикселям), а центр изображения имеет нулевые координаты, матрица камеры будет равна P = K[I|0], где

У реальных CCD камер пикселы обычно незначительно отличаются от квадратных, а центр изображения имеет ненулевые координаты. В таком случае матрица внутренних параметров примет вид: Коэффициенты f, αx, αy — называются фокусными расстояниями камеры (соответственно общим и вдоль осей x и y).

Помимо этого, в силу неидеальности оптики, на изображениях, полученных с камер, присутствуют искажения-дисторсии (distortion). Данные искажения имеют нелинейную математическую запись:

где k1, k2, p1, p2, k3 — коэффициенты дисторсии, являющиеся параметрами оптической системы; r2 = x'2 + y'2; (x', y') — координаты проекции точки относительно центра изображения при квадратных пикселях и отсутствии искажений; (x″, y″) — искаженные координаты точки относительно центра изображения при квадратных пикселях.

Дисторсии не зависят от расстояния до объекта, а зависят только от координат точек, в которые проецируются пиксели объекта. Соответственно для компенсации дисторсий обычно выполняется преобразование исходного изображения полученного с камеры. Это преобразование будет одним и тем же для всех изображений, полученных с камеры, при условии постоянства фокусного расстояния (математически — одной и той же матрицы внутренних параметров).

В ситуации, когда известны внутренние параметры камеры и коэффициенты дисторсии говорят, что камера откалибрована.

Об определении трехмерных координат наблюдаемых точек можно говорить, когда есть как минимум две камеры.

Матрицы пары камер, калибровка. Пусть имеются две камеры, заданные своими матрицами P и P' в некоторой системе координат. В таком случае говорят, что имеется пара откалиброванных камер. Если центры камер не совпадают, то эту пару камер можно использовать для определения трехмерных координат наблюдаемых точек.

Зачастую, система координат выбирается так, что матрицы камер имеют вид P = K[I|0], P' = K'[R'|t']. Это всегда можно сделать, если выбрать начало координат совпадающее с центром первой камеры, и направить ось Z вдоль ее оптической оси.

Калибровка камер обычно выполняется, за счет многократной съемки некоторого калибровочного шаблона, на изображении можно легко выделить ключевые точки, для которых известны их относительные положения в пространстве. Далее составляются и решаются (приближенно) системы уравнений, связывающие координаты проекций, матрицы камер и положения точек шаблона в пространстве.

Существуют общедоступные реализации алгоритмов калибровки, например, Matlab Calibration toolbox. Так же библиотека OpenCV включает в себя алгоритмы калибровки камер и поиска калибровочного шаблона на изображении.

Эпиполярная геометрия. Перед тем как перейти к описанию собственно метода вычисления трехмерных координат точек, я опишу некоторые важные геометрические свойства, связывающие положения проекций точки трехмерного пространства на изображениях с обеих камер.

Рисунок 2: Эпиполярная геометрия Пусть имеются две камеры, как изображено на рисунке 2. C — центр первой камеры, C' — центр второй камеры. Точка пространства X проецируется в x на плоскость изображения левой камеры и в x' на плоскость изображения правой камеры. Прообразом точки x на изображении левой камеры является луч xX. Этот луч проецируется на плоскость второй камеры в прямую l', называемую эпиполярной линией. Образ точки X на плоскости изображения второй камеры обязательно лежит на эпиполярной линии l'.

Таким образом, каждой точке x на изображении левой камеры соответствует эпиполярная линия l' на изображении правой камеры. При этом пара для x на изображении правой камеры может лежать только на соответствующей эпиполярной линии. Аналогично, каждой точке x' на правом изображении соответствует эпиполярная линия l на левом.

Эпиполярную геометрию используют для поиска стереопар, и для проверки того, что пара точек может быть стереопарой (т.е. проекцией некоторой точки пространства).

Эпиполярная геометрия имеет очень простую запись в координатах. Пусть имеется пара откалиброванных камер, и пусть x — однородные координаты точки на изображении одной камеры, а x' — на изображении второй. Существует такая матрица F размера 3 × 3, что пара точек x, x' является стереопарой тогда и только тогда, когда:

Матрица F называется фундаментальной матрицей (fundamental matrix). Ее ранг равен 2, она определена с точностью до ненулевого множителя и зависит только от матриц исходных камер P и P'.

В случае, когда матрицы камер имеют вид P = K[I|0], P' = K'[R|t] фундаментальная матрица может быть вычислена по формуле:

где для вектора e обозначение [e]X вычисляется как С помощью фундаментальной матрицы вычисляются уравнения эпиполярных линий. Для точки x, вектор, задающий эпиполярную линию, будет иметь вид l' = F x, а уравнение самой эпиполярной линии: l'Tx' = 0. Аналогично для точки x', вектор, задающий эпиполярную линию, будет иметь вид l = FTx'.

Помимо фундаментальной матрицы, существует еще такое понятие, как существенная матрица (essential matrix): E = K'TF K. В случае, когда матрицы внутренних параметров будут единичными существенная матрица будет совпадать с фундаментальной. По существенной матрице можно восстановить положение и поворот второй камеры относительно первой, поэтому она используется в задачах, в которых нужно определить движение камеры.

Триангуляция точек (triangulation). Теперь собственно перейдем к тому, как определить трехмерные координаты точки по координатам ее проекций. Этот процесс в литературе называется триангуляцией.

Пусть имеются две откалиброванные камеры с матрицами P1 и P2. x1 и x2 — однородные координаты проекций некоторой точки пространства X. Тогда можно составить следующую систему уравнений:

На практике для решения этой системы применяется следующий подход. Векторно умножают первое уравнение на x1, второе на x2, избавляются от линейно зависимых уравнений и приводят систему к виду A X = 0, где A имеет размер 4 × 4. Далее можно либо исходить из того вектор X является однородными координатами точки, положить его последнюю компоненту равной 1 и решать полученную систему из 3х уравнение с тремя неизвестными. Альтернативный способ — взять любое ненулевое решение системы A X = 0, например вычисленное, как сингулярный вектор, отвечающий наименьшему сингулярному числу матрицы A. Карта глубины (depth map) — это изображение, на котором для каждого пикселя, вместо цвета, храниться его расстояние до камеры. Карта глубины может быть получена с помощью специальной камеры глубины (например, сенсор Kinect является своего рода такой камерой), а так же может быть построена по стереопаре изображений.

Идея, лежащая в основе построения карты глубины по стереопаре очень проста. Для каждой точки на одном изображении выполняется поиск парной ей точки на другом изображении. А по паре соответствующих точек можно выполнить триангуляцию и определить координаты их прообраза в трехмерном пространстве. Зная трехмерные координаты прообраза, глубина вычисляется, как расстояние до плоскости камеры.

Парную точку нужно искать на эпиполярной линии. Соответственно, для упрощения поиска, изображения выравнивают так, что бы все эпиполярные линии были параллельны сторонам изображения (обычно горизонтальны). Более того, изображения выравнивают так, что бы для точки с координатами (x0, y0) соответствующая ей эпиполярная линия задавалась уравнением x = x0, тогда для каждой точки соответствующую ей парную точку нужно искать в той-же строчке на изображении со второй камеры. Такой процесс выравнивания изображений называют ректификацией (rectification). Обычно ректификацию совершают путем ремеппинга изображения и ее совмещают с избавлением от дисторсий. Пример ректифицированных изображений приведен на рисунке 3, картинки взяты из базы изображений сравнения различных методов построения карты глубины http://vision.middlebury.edu/stereo.

Рисунок 3: Пример ректифицированных картинок, и соответствующей им disparity map. После того как изображения ректифицированы, выполняют поиск соответствующих пар точек. Самый простой способ проиллюстрирован на картинке 4 и состоит в следующем. Для каждого пикселя левой картинки с координатами (x0, y0) выполняется поиск пикселя на правой картинке. При этом предполагается, что пиксель на правой картинке должен иметь координаты (x0 — d, y0), где d — величина называемая несоответствие/смещение (disparity). Поиск соответствующего пикселя выполняется путем вычисления максимума функции отклика, в качестве которой может выступать, например, корреляция окрестностей пикселей. В результате получается карта смещений (disparity map), пример которой приведен на рис. 3. Рисунок 4: Вычисление карты глубины. Собственно значения глубины обратно пропорциональны величине смещения пикселей. Если использовать обозначения с левой половины рисунка 4, то зависимость между disparity и глубиной можно выразить следующим способом: Из-за обратной зависимости глубины и смещения, разрешающая способность систем стерео зрения, которые работают на основе данного метода, лучше на близких расстояниях, и хуже на далеких.

habr.com

Гиперболическая траектория — WiKi

Синим цветом изображена гиперболическая траектория, зелёным цветом — параболическая, красным цветом — эллиптическая, серым цветом — круговая Гиперболическая траектория изображена в нижнем правом углу. Чёрным цветом показан показан гравитационный колодец центральной массы, красным цветом обозначена кинетическая энергия. Высота области кинетической энергии уменьшается с увеличением расстояния от центрального тела согласно законам Кеплера. Часть кинетической энергии, расположенная выше нулевого уровня полной энергии, является остаточной гиперболической скоростью

Гиперболи́ческая траекто́рия — в астродинамике и небесной механике траектория объекта вокруг центрального тела со скоростью, достаточной для преодоления притяжения центрального тела. Форма траектории в нерелятивистском случае является гиперболой. Эксцентриситет орбиты превышает единицу.

В рамках стандартных предположений тело, движущееся вдоль такой траектории, сможет удалиться на бесконечность, сохранив ненулевую скорость относительно центрального тела. По аналогии с параболической траекторией все гиперболические траектории являются траекториями ухода. Орбитальная энергия в расчете на единицу массы является положительной величиной.

Пролёты мимо планет, используемые при гравитационном манёвре, могут быть представлены в сфере тяготения как гиперболические траектории.

Как и эллиптическую орбиту, гиперболическую траекторию данной системы можно определить (без учёта ориентации) значением большой полуоси и эксцентриситета. Однако другие параметры могут оказаться более полезными для исследования движения тела. В следующей таблице перечислены основные параметры, описывающие движение тела по гиперболической траектории вокруг другого тела.

Большая полуось, энергия и гиперболический избыток скорости

Большая полуось не наблюдается непосредственно на гиперболической траектории, но её можно построить как расстояние от перицентра до точки пересечения асимптот. Обычно значение большой полуоси гиперболической орбиты считают отрицательным, тогда многие уравнения эллиптических орбит согласуются с уравнениями гиперболических орбит.

Большая полуось напрямую связана со значением энергии (ϵ{\displaystyle \epsilon \,} ) или характеристической энергией C3{\displaystyle C_{3}}  орбиты и со скоростью, которую тело имеет при стремлении расстояния к бесконечности, то есть с гиперболическим избытком скорости (v∞{\displaystyle v_{\infty }\,\!} ).

v∞2=2ϵ=C3=−μ/a{\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}  or a=−μ/v∞2,{\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}},} 

где μ=Gm{\displaystyle \mu =Gm\,\!}  — гравитационный параметр, C3{\displaystyle C_{3}}  — характеристическая энергия, часто используемая при планировании межпланетных миссий.

Заметим, что в случае гиперболической траектории полная энергия положительна. В случае эллиптической траектории полная энергия отрицательна.

Эксцентриситет и угол между направлением приближения и удаления тела

Эксцентриситет (e{\displaystyle e\,} ) гиперболической орбиты превышает единицу. Он напрямую связан с углом между асимптотами. При эксцентриситете, немного большем единицы, гипербола имеет вид буквы V. При e=2{\displaystyle e={\sqrt {2}}}  асимптоты пересекаются под прямым углом. При e>2{\displaystyle e>2}  угол между асимптотами составляет более 120°, перицентрическое расстояние превышает величину большой полуоси. При дальнейшем увеличении эксцентриситета траектория приближается к прямой линии.

Угол между направлением на перицентр и асимптотой из центрального тела является истинной аномалией при стремлении расстояния к бесконечности (θ∞{\displaystyle \theta _{\infty }\,} ), поэтому 2θ∞{\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}  является внешним углом к углу между направлениями приближения и удаления тела (между асимптотами). Тогда

θ∞=arccos⁡(−1/e){\displaystyle \theta {_{\infty }}=\arccos(-1/e)\,}  or e=−1/cos⁡θ∞.{\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,.} 

Прицельный параметр и расстояние наибольшего приближения

  Гиперболические траектории для объектов, приближающихся к центральному телу (маленькая точка) при одинаковом значении гиперболического избытка скорости (большая полуось равна 1) и с одного направления, но при различных значениях прицельного параметра и эксцентриситета. Жёлтая линия проходит совсем близко к центральному телу

Прицельный параметр представляет собой расстояние, на которое тело, если бы продолжило двигаться по невозмущённой траектории, приблизилось к центральному телу в момент наиболее близкого прохождения. Поскольку тела оказывают гравитационное воздействие друг на друга и одно тело движется по гиперболической траектории вокруг другого, то прицельный параметр будет равен малой полуоси гиперболы.

При приближении космического корабля или кометы к планете прицельный параметр и величину скорости на бесконечности требуется знать точно. Если при этом известны параметры центрального тела, то можно определить орбиту приближающегося тела, включая расстояние в перицентре. Если прицельное расстояние меньше радиуса планеты, произойдёт столкновение. Минимальное расстояние (расстояние в перицентре) определяется по формуле

rp=−a(e−1)=μ/v∞2(1+(bv∞2/μ)2−1).{\displaystyle r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1).} 

При приближении кометы к Земле (эффективный радиус около 6400 км) со скоростью 12,5 км/с (минимум скорости сближения Земли с телом из внешней области Солнечной системы) соударение не произойдёт при величине прицельного параметра более 8600 км (на 34 % больше радиуса Земли). Телу, приближающемуся к Юпитеру (радиус 70 тыс. км) со скоростью 5 км/с, для исключения соударения потребуется прицельное расстояние более 770 тыс. км, что в 11 раз превышает радиус Юпитера.

Если масса центрального тела неизвестна, то значение гравитационного параметра можно определить по отклонению траектории малого тела, если известна скорость сближения и прицельное расстояние. Поскольку последние величины обычно определяются довольно точно, то с помощью пролёта мимо планеты можно получить оценку её массы.

μ=bv∞2tg⁡δ/2{\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\operatorname {tg} \delta /2} , где δ=2θ∞−π{\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }  равно углу, на который отклоняется малое тело от изначальной прямолинейной траектории.

Положение

На гиперболической траектории истинная аномалия θ{\displaystyle \theta }  связана с расстоянием между обращающимися телами (r{\displaystyle r\,} ) с помощью уравнения орбиты:

r=ℓ1+e⋅cos⁡θ.{\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}.} 

Соотношение между истинной аномалией θ и эксцентрической аномалией E имеет вид

ch⁡E=cos⁡θ−e1−e⋅cos⁡θ{\displaystyle \operatorname {ch} {E}={{\cos {\theta }-e} \over {1-e\cdot \cos {\theta }}}}      или     tg⁡θ2=1+e1−e⋅th⁡E2.{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {th} {\frac {E}{2}}.} 

Эксцентрическая аномалия E связана со средней аномалией M уравнением Кеплера:

M=e⋅sh⁡E−E.{\displaystyle M=e\cdot \operatorname {sh} E-E.} 

Средняя аномалия пропорциональна времени:

M=μ−a3.(t−τ),{\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}  где μ — гравитационный параметр, a — большая полуось орбиты.

Угол φ между вектором скорости и перпендикуляром к радиус-вектору определяется выражением

tg⁡φ=e⋅sin⁡θ1+e⋅cos⁡θ.{\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}.} 

Скорость

В рамках стандартных предположений орбитальная скорость (v{\displaystyle v\,} ) тела, двиюущегося вдоль гиперболической траектории, можно вычислить следующим образом:

v=μ(2r−1a),{\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}},} 

где

μ{\displaystyle \mu \,}  — гравитационный параметр, r{\displaystyle r\,}  — расстояние от центрального тела до обращающегося, a{\displaystyle a\,\!}  — большая полуось орбиты (в данном случае отрицательна).

При стандартных предположениях для любого положения тела на орбите будет справедливо следующее соотношение между орбитальной скоростью (v{\displaystyle v\,} ), местной скоростью убегания (vesc{\displaystyle {v_{esc}}\,} ) и гиперболическим избытком скорости (v∞{\displaystyle v_{\infty }\,\!} ):

v2=vesc2+v∞2{\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}} 

Заметим, что в данном случае достаточно маленькое добавочное значение Δv к скорости, необходимой для удаления тела на бесконечность, приведёт к сильному возрастанию скорости на бесконечном удалении. Например, в точке, где скорость убегания равна 11,2 км/с добавление 0,4 км/с приведёт к гиперболическому избытку скорости 3,02 км/с:

11,62−11,22=3,02.{\displaystyle {\sqrt {11{,}6^{2}-11{,}2^{2}}}=3{,}02.} 

Данный пример иллюстрирует эффект Оберта. Проявляется и обратный эффект: телу не нужно сильное замедление по сравнению с гиперболическим избытком скорости (например, торможение атмосферой в точке перицентра) для того, чтобы скорость оказалась меньше скорости убегания и тело было захвачено притягивающим центром.

ru-wiki.org

Гиперболический параболоид - это... Что такое Гиперболический параболоид?

 Гиперболический параболоид

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

  • Гиперболический логарифм
  • Гиперболический цилиндр

Смотреть что такое "Гиперболический параболоид" в других словарях:

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД — один из двух типов параболоидов …   Большой Энциклопедический словарь

  • гиперболический параболоид — один из двух типов параболоидов. * * * ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД, один из двух типов параболоидов (см. ПАРАБОЛОИДЫ) …   Энциклопедический словарь

  • Гиперболический параболоид — см. Косая плоскость …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД — незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение Г. п. имеет вид: Сечения Г. п. плоскостями, параллельными плоскостям и , являются параболами, а сечения плоскостями, параллельными… …   Математическая энциклопедия

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД — один из двух типов параболоидов …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Гиперболический параболоид — …   Википедия

  • Гиперболический параболоид —    форма крыши, имеющая двойную кривизну.    (Архитектура: иллюстрированный справочник, 2005) …   Архитектурный словарь

  • ПАРАБОЛОИД — ПАРАБОЛОИД, параболоида, муж. (см. парабола) (мат.). Поверхность второго порядка, не имеющая центра. Параболоид вращения (образуется вращением параболы вокруг ее оси). Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Толковый словарь Ушакова …   Толковый словарь Ушакова

  • ПАРАБОЛОИД — ПАРАБОЛОИД, поверхность, получаемая при движении параболы, вершина которой скользит по другой, неподвижной параболе (с осью симметрии, параллельной оси движущейся параболы), тогда как ее плоскость, смещаясь параллельно самой себе, остается… …   Современная энциклопедия

  • Параболоид — ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах: если и одного… …   Википедия

dic.academic.ru